Десятичная запись числа (5-7 классы)

Продолжение предыдущего поста о занятии для 2–4 классов по теме “Цифры и числа”.

Уже в начальной школе нужно можно обсуждать преимущество позиционной системы записи чисел, но отсутствие широкой практической пользы оставляет эту идею в статусе мысленной эквилибристики. Практическая польза начинается, когда ребята уверенно овладевают навыками взаимодействия с уравнениями.

Учитывая, что пятиклассники в сентябре такими навыками владеют неуверенно (как говорится, редкий четвероклассник решит за лето больше половины уравнения), ребята решают задачи подбором (когда последовательным, когда нет) и набираются необходимой интуиции. Перед ребятами поувереннее стоит цель не только найти ответ(ы), но и убедиться, что других ответов нет. И в этом нам помогут грамотно составленные уравнения.

0. Основная идея

Любое число можно записать в виде суммы разрядных слагаемых. Например:

$$ 179 = 1 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 9 \cdot 1 $$

Примерный план решения задач и возможные трудности:

1. Составляем уравнение. Это несложный этап, и возможная трудность — это неготовность учеников писать какие-то непонятные формулы. К сожалению, в этом случае, как и во многих других, понимание приходит через практику. Поэтому преподавателю стоит запастись мотивационными речами.

2. Причёсываем уравнение и приводим подобные слагаемы. Трудности на этом этапе связанны со школьной программой, что, как правило, в рамках кружка исправить очень сложно.

3. Находим корни причёсанного уравнения. Первый подводный камень заключается в том, что ребята будут забывать про ограничения, которые будут вводиться на переменные, второй подводный камень — уравнения решаются в целых цифрах числах, для чего нужно иметь представление о делимости.

Как проходит занятие: Даём время для самостоятельного выполнения каждого этапа, в это время подходим к каждому ученику с предложением о помощи. А после выполняем на доске необходимые действия и переходим к следующему этапу. В какой-то момент ребята устанут от выполнения формальных действий, и в этот момент можно будет перейти к решению задач на получение примера.

1. Введение

В начале урока можно поговорить о поразрядном представлении числа, преимуществе позиционной системы исчисления перед, например, записью чисел с помощью римских цифр. И плавно перейти к основной идеи, а именно поразрядном представлении чисел.

В нашей системе исчисления мы используем цифры для обозначения разрядов. Так в числе 179 цифра “1” отвечает за количество сотен, “7” — за количество десятков, “9” — за количество единиц. То есть можем записать, что $179 = 1\cdot100 + 7\cdot10 + 9\cdot1$.

Сегодня мы будем решать задачи с помощью составления уравнений, но мы будем взаимодействовать не просто с числами, но и с цифрами, из которых эти числа состоят. Тогда логично в качестве переменных брать цифры, то есть трёхзначное число записывать как $abc$. Но тогда возникает следующая проблема. Если $a=1, b=7, c=9$, то число $abc$ можно прочитать как $1 \cdot 7 \cdot 9$.

Чтобы случайно не запутаться введём обозначение, которое будет читается как “abc с крышкой” и выглядеть как $\overline{abc}$. Также мы можем с помощью переменных записать и сумму цифр числа, а именно это можно сделать так:

Число $\overline{abc} = a\cdot 100 + b\cdot 10 + c\cdot 1$ имеет сумму цифр $a + b + c$.

Теперь давайте попробуем решить несколько задач, используя эти обозначения.

2. Пример задачи

Задача#

Найдите все двузначные числа, которые в 2 раза больше суммы своих цифр.

1. Вводим переменные и составляем уравнение.

Пусть a — первая цифра числа, а b — вторая. Запишем с помощью переменных число и его сумму цифр.

Теперь запишем уравнение по условию задачи: 10a + b = 2(a + b).

2. Причёсываем уравнение.

Раскрываем скобки 10a + b = 2a + 2b.

Приводим подобные слагаемые и получаем 8a = b.

3. Ищем корни.

На первый взгляд у этого уравнения много решений. Например, если a равно 2, тогда b это 16. Подходит ли такое решение? Конечно же нет, так как b — это цифра.

Давайте заметим, что b должно делиться на 8, но есть только две цифры, которые делятся на 8, а именно 0 и 8.

0 не подходит, так как в этом случае и a будет равно 0, а натуральное число начинаться с 0 не может (но не во Франции). Поэтому остаётся один вариант, который приводит к числу 18.

Ответ: 18.

3. Раздаточный материал

Задания для 5 класса

Задания для 6 класса

Задания для 7 класса

4. Дополнительные материалы

Множество задач по этой теме с решениями, конечно же, можно найти на problems.ru.

Поразрядное представление числа — достаточно распространённый метод решения задач. Из олимпиад задачи на применение этой идеи перекочевали и в ЕГЭ. Несколько таких задач разобрано в этом видео.